Wir haben im letzten Video die Familie der selbst adjungierten Endomorphismen eingeführt und deren

Eigenschaften diskutiert. Etwas, das wir noch außen vor gelassen haben, was wir jetzt nachholen werden,

ist die Normalform dieser Endomorphismen und wie uns folgender Satz sagen wird, sind solche

selbst adjungierten Endomorphismen diagonalisierbar und nicht nur das, die Ähnlichkeitstransformation

basiert auf einer Ortonormalbasis von Eigenrektoren des Endomorphismus. Also wir wollen folgenden

Satz formulieren. Diagonalisierungssatz zu den selbst adjungierten Endomorphismen. Wir wählen

f als selbst adjungierten Endomorphismus, sei f von v nach v. Wir bewegen uns hier im endlich

dimensionalen euklidischen oder unitären Vektorraum ein selbst adjungierter Endomorphismus. So existiert

eine Ortonormalbasis aus Eigenrektoren des Vektorraums v und damit wissen wir f ist per

Definition diagonalisierbar. Ortonormalbasis aus Eigenrektoren von f

zu den reellen Eigenwerten des Endomorphismus, denn bei allen selbst adjungierten Endomorphismen

besitzen wir nur reine reelle Eigenwerte. Der Beweis funktioniert ähnlich auch wie wir ihn

von vorigen Videos gesehen haben bei den orthogonalen oder unitären Vektorräumen. Man macht wieder

einen Beweis über vollständige Induktion. Da wir hier nicht besonders viel lernen können,

der Beweis ist fast analog, bis auf eine Eigenschaft, die werde ich zeigen, verweise ich da auf den

Beweis in dem orthogonalen und unitären Endomorphismen. Der vollständige Beweis ist natürlich für sie im

Skript, aber hier in der Vorlesung, glaube ich, reicht es darauf zu verweisen. Das heißt,

wir machen eine vollständige Induktion wieder über die Dimension des Vektorraums.

Das war N definiert als die Dimension von V. Der Induktionsanfang, das kennen Sie schon,

man sagt man ist im Eindimensionalen, man sagt Lambda ist ein Eigenwert und man wählt dann einen

zugehörigen Eigenvektor. Man normiert den ganzen und schon hat man eine Ortonormalbasis. Und für

die weiteren Schritte, für den Induktionsschritt nimmt man mal an, man wählt den ersten Eigenvektor,

normalisiert diesen und betrachtet jetzt V als das orthogonale Komplement zu diesem Eigenvektor. Also

hier wollen wir einsteigen kurz in der Beweisidee im Induktionsschritt. Da müssen wir Folgendes

zeigen. Und zwar wählen wir ein Eigenvektor V1 von F, V1 aus V und bilden jetzt das orthogonale

Komplement. Das heißt, wir definieren uns den folgenden Untervektorraum. Das kennen Sie auch

schon aus dem Beweis bei den unitären Phenomorphismen. Da sagen wir im Endeffekt V, das sind jetzt die

Menge aller Vektoren, die orthogonal stehen. Das ist also die Menge aller V aus V, sodass gilt,

dass V1, das war der Eigenvektor, orthogonal steht zu diesem V. Was wir jetzt noch zeigen müssen,

ist im Endeffekt, dass wenn wir F auf V anwenden, dass dieser Untervektorraum F invariant ist. Das

heißt, wir schreiben es mal hier jetzt zu zeigen. Und das ist der einzige Trick, denn dann kann man

wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden. F von V ist wieder eine Teilmenge von V, weil dann haben

wir einen Endomorphismus. Dann können wir F einschränken auf diesen Untervektorraum und die

Induktionsvoraussetzung anwenden. Und wie machen wir das Ganze? Wir wählen, um diesen Schlüsselschritt

zu beweisen, einen beliebigen Vektor V aus V, klein V aus groß V. Und dann gilt, wegen der

Selbstattjungiertheit, dass es die Eigenschaft, die man nutzen muss, wegen Selbstattjungiertheit.

Folgende Gleichungskette wollen wir betrachten. Was wir gerne hätten wäre, dass das Skalarprodukt

von V1 mit F von V auch wieder null ist. Das würde bedeuten, dass wenn wir W abbilden,

dass wir dann wieder einen orthogonalen Vektor erwischen. Und das muss für alle W gelten. Okay,

das heißt, wir hätten am liebsten V1 im Skalarprodukt mit F von W. Das muss am Ende

gleich null sein. Wenn wir das hinbekommen, dann haben wir gesehen, okay, wir bilden wirklich

Vektoren wieder in diesen Untervektorraum ab. Wie können wir da vorgehen? Naja, wir nutzen

sofort die Selbstattjungiertheit. Das heißt, wir können das F auf die andere Seite rüberschieben.

Normalerweise würde jetzt hier ein F-Sternchen stehen für die Attjungierte, aber da wir selbst

attingiert sind, brauchen wir dieses Sternchen hier nicht. Dementsprechend haben wir hier nur F von V1

im Skalarprodukt mit W. Und jetzt können wir die Eigenwertgleichung anwenden. Wir wissen,

V1 war ein Eigenvektor von F. Das heißt, wir können das Ganze schreiben als ein Lambda 1,

ist der entsprechende Eigenwert, mal V1 und W. Naja, jetzt können wir noch das Lambda 1 ausklammern

und haben dann V und W im Skalarprodukt. Und das ist nach Voraussetzung gerade null,

da wir das W gewählt haben, aus Gross W, dementsprechend orthogonal zu V1. Genau,